Calculos Matematicos

Unidad I Limites

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir o en el punto c.

Funciones de Variable Real:
Si la función

f

tiene límite

L

c

podemos decir de manera informal que la función

f

tiende hacia el límite

L

cerca de

c

si se puede hacer que

f(x)

esté tan cerca como queramos de

L

haciendo que

x

esté suficientemente cerca de

c

siendo

x

distinto de

c

.
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo

\varepsilon > 0 \;

existe un

\delta > 0 \;

tal que para todo número real x en el dominio de la función

0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

.

Esto, escrito en notación formal:

\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que